Задача 1. Вероятность того, что Тсветан (популярное Болгарское имя, кстати) сдаст все задачи первого листочка по статистике равна 0.7, вероятность того, что он сдаст все задачи второго листочка - 0.9. Составить закон распределения числа сданных Тсветаном листочков и нарисовать полигон распределения для этой случайной величины.
Задача 2. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения и нарисовать гистограмму распределения для числа мальчиков в семье с 4 детьми.
Задача 3. Даны законы распределения двух случайных величин X и Y:
| $x_i$ | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|
| $p_i$ | 0.2 | 0.5 | ? |
| $y_i$ | 2 | 3 |
|---|---|---|
| $p_i$ | 0.4 | ? |
Восстановите таблицы распределений случайных величин. Найти закон распределения случайной величины $3X - 2Y$ и проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсий: $M(3X - 2Y) = 3M(X) - 2M(y)$, $D(3X - 2Y) = 9D(X) + 4D(Y)$
Задача 4.
а) Докажите, что для независимых с.в. X и Y выполняется: $M(XY) = M(X) M(Y)$
б) Докажите, что $M(X \pm C) = M(X) \pm C$
в) Докажите, что $M(X - M(X)) = 0$
Задача 5. Найти $M(8X - 5Y + 7)$, если известно, что $М(X) = 3, M(Y) = 2$
Задача 6. Докажите, что именно матожидание X минимизирует выражение $min_C M(X-C)^2$
Задача 7. Используя свойства матожидания докажите, что $D(k X) = k^2 D(X)$
Задача 8. Доказать, что матожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону равно $M(X) = np$, a дисперсия равна $D(X) = npq$.
Подсказка: на случайную величину X можно смотреть как на сумму некоторых других случайных величин.
Задача 9.
а) Докажите корректность определения распределения Пуассона (первый шаг - понять, что нужно доказать ))
б) Доказать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по Пуассону, равны $\lambda$.
Напоминание: Случайная величина имеет распределение Пуассона, если $P(X = m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}$
Задача 10. Докажите, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по Пуассону, снова является случайной величиной, распределенной по Пуассону: $Pois(\lambda_1) + Pois(\lambda_2) = Pois(\lambda_1 + \lambda_2)$. Основываясь на том, что распределение Пуассона является моделью разных физических явлений (было рассказано на лекции каких), объясните "смысл" этой формулы на каком-нибудь примере.
Задача 11. Найдите такое k, чтобы при бросании монеты 1000 раз число орлов попадало бы в интервал [500-k, 500+k] с вероятностью, большей чем 95%.
Замечание 1: k должно быть небольшим, решения вида k=500 не принимаются )) Чем меньше k - тем лучше!
Замечание 2: Построенное вами множество называется 95-процентным доверительным интервалом для случайной величины X - количества выпавших орлов.
Задача 11. Среднее количество вопросов к Петру Валентиновичу во время летнего лагеря, поступающих в течении дня, равно 300. Оцените вероятность того, что в течении следующего дня число обращений к Петру Валентиновичу:
Задача 12. Вероятность того, что Николина (тоже популярное Болгарское имя) решит предложенную ей на математической школе задачу, равна 0.96. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди двух тысяч задач, предложенных Николине непосильных задач для нее будет от 60 до 100 (включительно). Уточните найденную оценку с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Объясните различие полученных результатов.
Указание: F(2.28) = 0.979
Задача 13. (навеяно игрой в волейбол на пляже) Пять школьников и один преподаватель перекидываются волейбольным мячом. Известно, что каждый из игроков с вероятностью p играет хорошо (передает пас следующему игроку), а с вероятностью (1-p) отправляет мяч в аут. Игроки пытаются ставить рекорд и считают сколько раз им удается сделать пас до того, как мяч упадет на песок.
а) Найдите функцию распределения случайной величины - числа пасов до падения мяча
б) Найдите матожидание числа пасов до падения
в) Найдите дисперисю числа пасов до падения
Замечание: Полученное вами распределение называется геометрическим распределением. Настоятельно рекомендуется поиграться с ним здесь: http://www.randomservices.org/random/apps/NegativeBinomialExperiment.html. Что меняют "бегунки" в модели?
Еще ОЧЕНЬ интересные модели, с которыми можно поиграть:
Список всех моделей с сайта: http://www.randomservices.org/random/apps/index.html